角的平分線的性質教案 篇一
一、教學目標
【知識與技能】
進一步瞭解角平分線的性質和判定，能夠證明角平分線的性質和判定定理並且會運用角平分線性質去解決問題。
【過程與方法】
通過對“角平分線性質”的探究，提高分析問題、解決問題的能力。
【情感態度與價值觀】
通過一系列的證明過程，體驗數學活動充滿著探索性和創造性，增強學習數學的興趣和勇於創新的精神。
二、教學重難點
【重點】
證明角平分線的性質和判定。
【難點】
靈活運用角平分線性質解決問題。
三、教學過程
(一)設定情境問題，搭建探究平臺
問題l:習題1.8的第1題作三角形的三個內角的角平分線，你發現了什麼？能證明自己發現的結論一定正確嗎？
於是，首先證明“三角形的三個內角的角平分線交於一點” .
當然學生可能會提到摺紙證明、軟體演示等方式證明，但最終，教師要引導學生進行邏輯上的證明。
(二)展示思維過程，構建探究平臺
已知：如圖，設△ABC的角平分線。BM、CN相交於點P，
證明：P點在∠BAC的角平分線上。
證明：過P點作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足。
∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，
∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等).
同理：PE=PF.
∴PD=PF.
∴點P在∠BAC的平分線上(在一個角的內部，且到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上).
∴△ABC的三條角平分線相交於點P.
在證明過程中，我們除證明了三角形的三條角平分線相交於一點外，還有什麼“附帶”的成果呢？
(PD=PE=PF，即這個交點到三角形三邊的距離相等。)
於是我們得出了有關三角形的三條角平分線的結論，即定理三角形的三條角平分線相交於一點，並且這一點到三條邊的距離相等。
下面我通過列表來比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質定理
問題2
分析：本例需要運用前面所學的多個定理，而且將計算和證明融合在一起，目的是使學生進一步理解、掌握這些知識和方法，並能綜合運用它們解決問題。第(1)問中，求AC的長，需求出BC的長，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根據角平分線的性質，DE=CD=4cm，再根據勾股定理便可求出DB的長。第(2)問中，求證AB=AC+CD.這是我們第一次遇到這種形式的證明，利用轉化的思想AB=AE+BE，所以需證AC=AE，CD=BE.
(1)解：∵AD是△ABC的角平分線，
∠C=90°，DE⊥AB.
∴DE=CD=4cm(角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等).
∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等邊對等角).
∵∠C=90°，
∴∠B=1/2×90°=45°.
∴∠BDE=90°—45°=45°.
∴BE=DE(等角對等邊).
在等腰直角三角形BDE中
BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)，
∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm.
(2)證明：由(1)的求解過程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)
∴AC=AE.
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD.
[例2]已知：如圖，P是麼AOB平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C、D.
求證：(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分線。
證明：(1)P是∠AOB角平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD(角平分線上的點到角兩邊的距離相等).
在Rt△OPC和Rt△OPD中，
OP=OP，PC=PD，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理).
∴OC=OD(全等三角形對應邊相等).
(2)又OP是∠AOB的角平分線，
∴OP是CD的垂直平分線(等腰三角形“三線合一”定理).
思考：圖中還有哪些相等的線段和角呢？
(四)課時小結
本節課我們利用角平分線的性質和判定定理證明了三角形三條角平分線交於一點，且這一點到三角形各邊的距離相等。並綜合運用我們前面學過的性質定理等解決了幾何中的計算和證明問題。
(五)課後作業
習題1.9第1、2題
四、板書設計
角平分線性質
定理：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。
定理：在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。
五、教學反思
證明角平分線的性質教案 篇二
一、教學目標：
(一)掌握的知識與技能：
1、經歷摺紙、畫圖等操作過程認識三角形的高、中線、角平分線，結合圖形，會用幾何語言表述。
2、會用工具準確地畫出三角形的高、中線與角平分線。
(二)經歷的教學思考：
經歷摺紙、畫圖、觀察、思考、交流等活動，發展空間觀念和表達能力
(三)培養的情感態度和價值觀：
通過數學活動，讓學生體驗和理解三角形中的特殊線段，結合圖形認識三角形的高、中線、角平分線所揭示的數量關係，學會發現問題，解決問題。
二、教學重難點：
1、重點：(1)瞭解三角形的高、中線、角平分線的概念，會用工具準確畫出三角形高、中線、角平分線。
(2)瞭解三角形的三條高，三條中線與三條角平分線分別交於一點。
2、難點：(1)三角形平分線與角平分線的區別，三角形的高與垂線的區別。
(2)鈍角三角形高的畫法。
(3)不同的三角形三條高的位置關係。
三、教學方法：自主探究，合作交流
四、教學工具：三角形紙片，三角板，直尺
五、教學過程：
1、各組組長檢查預習作業完成情況。
2、師生問好。
3、情境匯入：【大螢幕顯示】白雪公主有一塊三角形的煎餅，她打算把煎餅分成面積相等的七塊給小矮人，想了很久也不知道怎麼分，你能幫助她嗎？
4、展示本課學習目標【大螢幕顯示】
5、學生自學課本p65-66內容後，完成導學案。(小組共同完成，組長組織)教師巡視全班。(導學案附後)
6、通過題目檢查學生自學情況。【大螢幕顯示】(學生搶答)
7、將學生在自學過程中的疑難問題適當加以點撥。
8、學生完成課堂練習，完成後交給組長評分。(課堂練習附後)
9、共同完成拓展練習。
10、共同完成課前設疑的問題。現在你能幫助白雪公主了嗎？
11、課堂小結：由學生總結，互相補充。
12、佈置課下作業。
【導學案和課堂練習題附後】
三角形的高、中線和角平分線導學案
課前準備：請你完成下列作圖：
1、經過點a畫直線l的垂線
2、畫∠aob的角平分線
3、作出線段ab的中點o
動手實踐，探究新知：
(一)三角形的高線
1、三角形高線定義：
2、請你畫出下面三角形的高
思考：(1)三角形的高線有 條；
(2)銳角三角形的三條高是在三角形的內部還是外部？ ;
(3)直角三角形的三條高線相交 ;
(4)鈍角三角形的三條高線也相交於一點嗎？
請你拿出課前準備好的三角形，通過自己摺紙畫出三角形的角平分線和中線，回答下面問題
1、三角形角平分線定義：
2、三角形有幾條角平分線？
3、你發現三角形的三條角平分線是否交於一點？
(三)三角形的中線
1、三角形的中線定義：
2、三角形有幾條中線？
3、你發現三角形的三條中線是否交於一點？
三角形高、中線、角平分線課堂練習
應用新知，體驗成功
1、填空：∵ad是△abc的高
∴ = = °
2、《三角形的高、中線與角平分線》教學設計填空：∵cf是△abc的中線
∴ = =
3、《三角形的高、中線與角平分線》教學設計填空：∵ae是△abc的角平分線
∴ = =
4、如圖：cd，be是∆abc的角平分線，它們相交於點i，則
①∠acd=∠ = ∠acb， ∠abc= ∠abe
②bi是∆ 的角平分線，ci是∆ 的角平分線。
③你能畫出∆abc的第三條角平分線嗎？
5、如圖，在∆abc中，∠bac是鈍角，請在∆abc中分別畫出：
(1) ∠bac的平分線；
(2)ac邊上的中線；
(3)ac邊上的高；
(4)ab邊上的高。
6、已知：如圖， 在△abc中， ∠acb=90°，cd是高，
則圖中互補的角有 對，分別為
7、請你找出圖中以ad為高的三角形
它們分別是
8、三角形某條邊上的高( )
a在三角形的內部 b在三角形的外部 c在三角形的一邊上 d以上三種情況都有可能
9、如圖，如果d是bc的中點，bc=6,ae⊥bc於e,ae=4
則bd=dc= ，s△abd= ，
s△acd= , s△abd s△acd.
10、三角形的一條( )，能把三角形分成兩個面積相等的三角形。
a.角平分線 b.中線 c.高 d.以上都不對
證明角平分線的性質教案定義 篇三
一、教學分析
1.教學內容分析
本節課是新人教版教材《數學》八年級上冊第11.3節第一課時內容，是在七年級學習了角平分線的概念和前面剛學完證明直角三角形全等的基礎上進行教學的。內容包括角平分線的作法、角平分線的性質及初步應用。作角的平分線是基本作圖，角平分線的性質為證明線段或角相等開闢了新的途徑，體現了數學的簡潔美，同時也是全等三角形知識的延續，又為後面角平分線的判定定理的學習奠定了基礎。因此，本節內容在數學知識體系中起到了承上啟下的作用。同時教材的安排由淺入深、由易到難、知識結構合理，符合學生的心理特點和認知規律。
2.教學物件分析
剛進入八年級的學生觀察、操作、猜想能力較強，但歸納、運用數學意識的思想比較薄弱，思維的廣闊性、敏捷性、靈活性比較欠缺，需要在課堂教學中進一步加強引導。根據學生的認知特點和接受水平，我把第一課時的教學任務定為：掌握角平分線的畫法及會用角平分線的性質定理解題，同時為下節判定定理的學習打好基礎。
二、教學目標
1、知識與技能：
(1)、掌握用尺規作已知角的平分線的方法。
(2)、理解角的平分線的性質並能初步運用。
2、數學思考：通過讓學生經歷觀察演示，動手操作，合作交流，自主探究等過程，培養學生用數學知識解決問題的能力。
3、解決問題：
(1)、初步瞭解角的平分線的性質在生產、生活中的應用。
(2)、培養學生的數學建模能力。
4、情感與態度：充分利用多媒體教學優勢，培養學生探究問題的興趣，增強解決問題的信心，獲得解決問題的成功體驗，激發學生應用數學的熱情。
三、教學重點、難點
重點：掌握角平分線的尺規作圖，理解角的平分線的性質並能初步運用。
難點：(1)對角平分線性質定理中點到角兩邊的距離的正確理解；
(2)對於性質定理的運用(學生習慣找三角形全等的方法解決問題而不注重利用剛學過的定理來解決，結果相當於對定理的重複證明)
四、教學過程
教學環節設計
1.提出問題、思考探究
問題1：
生活中有很多數學問題：
小明家居住在某小區一棟居民樓的一樓，剛好位於一條暖氣和天然氣管道所成角的平分線上的P點，要從P點建兩條管道，分別與暖氣管道和天然氣管道相連。
(1)、怎樣修建管道最短？
(2)、新修的兩條管道長度有什麼關係，畫來看一看。
[設計意圖]
依據新課程理念，教師要創造性地使用教材，作為本課的第一個引例，從學生的生活出發，激發學生的學習興趣，培養學生運用數學知識，解決實際問題的意識，複習了點到直線的距離這一概念，為後續的學習作好知識上的儲備。
問題2：
要研究角的平分線的性質我們必須會畫角的平分線，工人師傅常用簡易平分角的儀器來畫角的平分線。出示儀器模型，介紹儀器特點(有兩對邊相等)，將A點放在角的頂點處，AB和AD沿角的兩邊放下，過AC畫一條射線AE，AE即為∠BAD的平分線。為什麼？
[設計意圖]
體驗從生產生活中分離，抽象出數學模型，並主動運用所學知識來解決問題。從上面的探究中可以得到作已知角的平分線的方法。
問題3：
把簡易平分角的儀器放在角的兩邊時，平分角的儀器兩邊相等，從幾何作圖角度怎麼畫？BC=DC，從幾何作圖角度怎麼畫？
[設計意圖]
從實驗操作中獲得啟示，明確幾何作圖的基本思路和方法。
問題4：
作一個平角∠AOB的平分線OC，反向延長OC得到直線CD，請學生說出直線CD與AB的位置關係。並在此基礎上再作出一個45度的角。
[設計意圖]
通過作特殊角的平分線，讓學生掌握過直線上一點作已知直線的垂線及特殊角的方法，達到培養學生的發散思維的目的。
問題5：
讓學生用紙剪一個角，把紙片對摺，使角的兩邊疊合在一起，把對摺後的紙片繼續折一次，折出一個直三角形(使第一次的摺痕為斜邊)，然後展開，觀察兩次摺疊形成的三條摺痕。
(1)、第一次的摺痕和角有什麼關係？為什麼？
(2)、第二次摺疊形成的兩條摺痕與角的兩邊有何關係，它們的長度有何關係？
[設計意圖]
培養學生的動手操作能力和觀察能力，為下面進一步揭示角平分線的性質作好鋪墊。
2、教師點撥、歸納概括
按照摺紙的順序畫出角及摺紙形成的三條摺痕。讓學生分組討論、交流，再利用幾何畫板軟體驗證結論，並用文字語言闡述得到的性質。(角的平分線上的點到角兩邊的距離相等)結合圖形寫出已知，求證，分析後寫出證明過程。教師歸納，強調定理的條件和作用。
教師用文字語言敘述得到的結論。引導學生結合圖形寫出已知、求證，分析後寫出證明過程，並利用實物投影展示。證明後，教師強調經過證明正確的命題可作為定理。同時強調文字命題的證明步驟。
[設計意圖]
經歷實踐→猜想→證明→歸納的過程，符合學生的認知規律，尤其是對於結論的驗證，資訊科技在此體現其不可替代性，從而把學生的直觀體驗上升到理性思維。
3、例題解析、應用新知
例1在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分別是E，F.
求證：EB=FC.
[設計意圖]
為突出本節課重點、突破難點而設計的一項活動。讓學生運用性質解決數學問題，通過利用多媒體對一些邊進行變色，提醒學生直接運用定理，不要仍舊去找全等三角形。同時通過資訊科技方便進行一題多解及一題多變研究，更好的拓展學生解題思路及形成知識運用能力。兩道變題同時展示，符合高效課堂要求。通過學生觀察識圖、獨立思考、小組討論，培養學生合作交流的意識。
例2已知：△ABC的角平分線BM、CN相交於點P.
求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等。
[教學方法手段]
限時讓學生獨立思考分析，然後交流證題思路，再通過多媒體展示一般證明過程。
[設計意圖]
通過問題的解決，幫助學生更好的理解角平分線的性質，並達到能熟練運用的程度。
4、課堂練習、鞏固提高
課後練習1、2題。
[設計意圖]
通過練習，鞏固角平分線的性質。
5、課堂小結、回顧反思
(1)、這節課你有哪些收穫，還有什麼困惑？
(2)、通過本節課你瞭解了哪些思考問題的方法？
[設計意圖]
通過引導學生自主歸納，調動學生的主動參與意識，鍛鍊學生歸納概括與表達能力。
6、佈置作業、資訊反饋
[設計意圖]
通過課後動手練習作業，教師批改作業，檢查學生本節課的學習效果，從中發現問題，及時調整教學策略。
必做題：教材第22頁第1、2、3題
選做題：教材第23頁第6題
五、板書設計：(略)
證明角平分線判定方法 篇四
在三角形中的性質。
1.三角形的三條角平分線交於一點，且到各邊的距離相等。這個點稱為內心 (即以此點為圓心可以在三角形內部畫一個內切圓)。
2.三角形內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例。
若AD是△ABC的角平分線，則 BD/DC=AB/AC 。
證明：作CE∥AD交BA延長線於E。
∵CE∥AD
∴△BDA∽△BCE
∴BA/BE=BD/BC
∴ BA/AE=BD/DC
∵CE∥AD
∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∴ ∠BAD=∠CAD=∠ACE=∠E
即∠ACE=∠E
∴ AE=AC
又∵BA/AE=BD/DC
∴BA/AC=BD/DC