建構函式在導數解證不等式中的應用
汕頭市潮南區臚溪中學 胡小霞
解決不等式問題是中學數學中的一個難點，有些不等式問題採用常規方法難以解決，若能巧妙地建構函式將不等式問題轉化為函式問題，使問題獲得較好解決。本文就近幾年大學聯考題中與不等式有關的幾道試題予以簡要剖析，以此體會導數法解決不等式證明問題及恆成立問題有效性.通過構造新函式成為解證不等式的良好“載體”，以下通過具體例項加以說明。
一、利用導數證明不等式
根據不等式的特點建構函式，通過新函式的導數來證明單調性,然後再利用新函式的最值達到證明不等式的目的。即把證明不等式問題轉化為函式問題。具體有如下幾種形式：
1、 直接作差“建構函式”證明不等式
題目：已知函式，求證：當時，恆有
分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函式證明，左邊建構函式，從其導數入手即可證明。
證明：
∴當時，，即在上為增函式；
當時，，即在上為減函式，故函式的單調遞增區間為，單調遞減區間。於是函式在上的最大值為。
因此，當時，，即∴ （右邊得證），
現證左面，構造新函式
時，；時，。即在上為減函式，在上為增函式，故函式在上的最小值為，
∴當時，，即∴（左邊得證）
綜上可知，當
本題首先根據題意作差“建構函式”，通過導數判斷新函式的單調性，利用最值，從而達到證明不等式的目的。
2、適當放縮後再“建構函式”證明不等式
題目：已知函式其中n∈N*,為常數.當時，證明：當n為奇數時,當時，有.
分析：對當n為奇數時的進行放縮處理，再移項作差“建構函式”，利用導數判斷其單調性。
證明：因為a=1,所以 因為n為奇數，時，＜0，
要證, 所以只需證,令,
,所以當時，單調遞增，
又， 所以當時，恆有,
即命題成立. 綜上所述，當n為奇數時,當時，有.
本題與直接“建構函式”不同，在當n為奇數時,先進行了適當放縮後再進行構造，使本來複雜的函式變得簡單容易處理，較為簡捷；但放縮要注意恰到好處。
3、利用式子的相似來“建構函式”證明不等式
題目：對任意實數a和b,成立不等式
分析：根據不等式中式子的結構特點,形狀相似於函式在相應幾個點的函式值
證明：建構函式
所以內嚴格遞增。於是
由得
即 ，又因為
即證得
這個分式不等式中的絕對值不便於去掉，所以通過分析不等式左右兩邊各式的相似之處，將相似的量當做是所構造的函式的兩個取值點，然後利用函式的單調性來證明。
二、利用導數解決不等式恆成立問題
不等式恆成立問題，一般都會涉及到求引數範圍，往往把變數分離後可以轉化為 (或)恆成立，從而把不等式恆成立問題轉化為函式求最值問題．因此，利用導數求函式最值是解決不等式恆成立問題的一種重要方法
題目：已知函式的最大值為0，若不等式對任意的都成立（其中e是自然對數的底數）.求的最大值.
解析:不等式等價於不等式
由知,所以 ,換元令，
建構函式：
由已知得建構函式，
所以當得在上為減函式.
故函式在上的最小值為，所以的最大值為。
本題主要是先兩邊取對數再進行引數分離並進行構造新函式轉化利用單調性求最小值解決問題；值得注意的是本題在當導數的符號難以直接判斷時可以考慮進行二次構造新函式，是典型的用“建構函式”轉化並解決問題的好例。
總之，不論是證明不等式還是解不等式恆成立問題，只要我們仔細研究不等式的結構特徵，聯想到“建構函式”再結合導數的知識來證明不等式或解決恆成立問題，這類問題的解決就會變得輕車熟路。這種解題方法也是轉化與化歸思想在中學數學中的重要體現。