第一篇：向量空間證明
向量空間證明
解題的基本方法：
1)在立體幾何圖形中，選擇適當的點和直線方向建立空間直角座標系中
2)若問題中沒有給出座標計算單位，可選擇合適的線段設置長度單位;
3)計算有關點的座標值，求出相關向量的座標;
4)求解給定問題
證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個向量，分別與已知直線向量求數積，只要分別為零，即可説明結論。
證明直線與平面平行的關鍵是在平面中尋找一個與直線向量平行的向量。這樣就轉化為證明二個向量平行的問題，只要説明一個向量是另一向量的m(實數)倍，即可
只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會從中悟出經驗和方法
2
解：
因為x+y+z=0
x=-y-z
y=y+0*z
z=0*y+z
(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z
y,z為任意實數
則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數為2(不用寫為什麼是2)
步驟1
記向量i，使i垂直於ac於c，△abc三邊ab,bc,ca為向量a,b,c
∴a+b+c=0
則i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)
=-asinc+csina=0
接着得到正弦定理
其他
步驟2.
在鋭角△abc中，設bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足為點h
ch=a·sinb
ch=b·sina
∴a·sinb=b·sina
得到a/sina=b/sinb
同理，在△abc中，
b/sinb=c/sinc
步驟3.
證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：
任意三角形abc,作abc的外接圓o.
作直徑bd交⊙o於d.連接da.
因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度
因為同弧所對的圓周角相等,所以∠d等於∠c.
所以c/sinc=c/sind=bd=2r
類似可證其餘兩個等式.希望對你有所幫助!
2
設向量ab=a,向量ac=b，向量am=c向量bm=d,延長am到d使am=dm，連接bd,cd,則abcd為平行四邊形
則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c
平方(1)
向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d
平方(2)
(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方
c平方=1/2(a+b)-d平方
am^2=1/2(ab^2+ac^2)-bm^2
3
已知ef是梯形abcd的中位線，且ad//bc，用向量法證明梯形的中位線定理
過a做ag‖dc交ef於p點
由三角形中位線定理有：
向量ep=½向量bg
又∵ad‖pf‖gc且ag‖dc∴向量pf=向量ad=向量gc(平行四邊形性質)
∴向量pf=½(向量ad+向量gc)
∴向量ep+向量pf=½(向量bg+向量ad+向量gc)
∴向量ef=½(向量ad+向量bc)
∴ef‖ad‖bc且ef=(ad+bc)
得證
4
先假設兩條中線ad,be交與p點
連接cp,取ab中點f連接pf
pa+pc=2pe=bp
pb+pc=2pd=ap
pa+pb=2pf
三式相加
2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf
3pa+3pb+2pc=2pf
6pf+2pc=2pf
pc=-2pf
所以pc,pf共線，pf就是中線
所以abc的三條中線交於一點p
連接od,oe,of
oa+ob=2of
oc+ob=2od
oc+oc=2oe
三式相加
oa+ob+oc=od+oe+of
od=op+pd
oe=op+pe
of=op+pf
oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2bp+1/2cp
由第一問結論
2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp
2pa+2pb+2pc=0
1/2ap+1/2bp+1/2cp
所以oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op
向量op=1/3(向量oa+向量ob+oc向量)
第二篇：2014年大學聯考數學空間向量證明平行問題
4.2 直線的方向向量、平面的法向量及其應用
一、直線的方向向量及其應用
1、直線的方向向量
直線的方向向量就是指和這條直線所對應向量平行（或共線）的向量，顯然一條直線的方向向量可以有無數個．
2、直線方向向量的應用
利用直線的方向向量，可以確定空間中的直線和平面．
?（1）若有直線l, 點a是直線l上一點，向量a是l的方向向量，在直線l
?????????????上取ab?a，則對於直線l上任意一點p，一定存在實數t，使得ap?tab，這
?樣，點a和向量a不僅可以確定l的位置，還可具體表示出l上的任意點．
（2）空間中平面α的位置可以由α上兩條相交直線確定，若設這兩條直線
??交於點o,它們的方向向量分別是a和b，p為平面α上任意一點，由平面向量基
??????本定理可知，存在有序實數對（x，y），使得op?xa?yb，這樣，點o與方向
??向量a、b不僅可以確定平面α的位置，還可以具體表示出α上的任意點．
1．若a(－1,0,1)，b(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為()
a．(1,2,3)b．(1,3,2)
c．(2,1,3)d．(3,2,1)
2. 從點a(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取線段長ab＝34，則b點的座標為()
a．(－9，－7,7)b．(18,17，－17)
c．(9,7，－7)d．(－14，－19,31)
二、平面的法向量
1、所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個平面的法向量也有無數個，它們是共線向量．
??2、在空間中，給定一個點a和一個向量a，那麼以向量a為法向量且經過點
a的平面是唯一確定的．
三、直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面位置關係中的應用
????????????
1、若兩直線l1、l2的方向向量分別是u1、u2，則有l1// l2?u1//u2，l1⊥l2?u1???
⊥u2．
????????????
2、若兩平面α、β的法向量分別是v1、v2，則有α//β?v1//v2，α⊥β?v1???
⊥v2．
????若直線l的方向向量是u，平面的法向量是v，則有l//α?u⊥v，l⊥α
???u//v
b分別是直線l1、l2的方向向量，根據下列條件判斷l1與l2的位置關係。1. 設a、
?
?
（1）a=（2，3，－1），b=（－6，－9，3）； （2）a=（5，0，2），b=（0，4，0）； （3）a=（－2，1，4），b=（6，3，3）
?
?
?
?
??
四、平面法向量的求法
若要求出一個平面的法向量的座標，一般要建立空間直角座標系，然後用待定係數法求解，一般步驟如下：
?
1、設出平面的法向量為n?(x,y,z)．
??
2、找出（求出）平面內的兩個不共線的向量的座標a?(a1,b1,c1),b?(a2,b2,c2)
????n?a?0????n?b?0 3、根據法向量的定義建立關於x，y，z的方程組?
4、解方程組，取其中一個解，即得法向量
v分別是平面α、β的法向量，根據下列條件判斷α、β的位置關係： 1. 設u、
?
?
??
（1）u=（1，－1，2），v=（3，2，
?
?
?
2）；
（2）u=（0，3，0），v=（0，－5，0）； （3）u=（2，－3，4），v=（4，－2，1）。
?
?
2. 已知點a（3，0，0），b（0，4，0），c（0，0，5），求平面abc的一個單位法向量。
??
3. 若直線l的方向向量是a=（1，2，2），平面α的法向量是n=（－1，3，0），
試求直線l與平面α所成角的餘弦值。
4．若n＝(2，－3,1)是平面α的一個法向量，則下列向量能作為平面α的一個法向量的是()
a．(0，－3,1)b．(2,0,1)
c．(－2，－3,1)d．(－2,3，－1)
5．已知平面α上的兩個向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，則平面α的一個法向量為()
a．(1，－1,1)b．(2，－1,1) c．(－2,1,1)d．(－1,1，－1)
五、用向量方法證明空間中的平行關係和垂直關係 （一）用向量方法證明空間中的平行關係
空間中的平行關係主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．1、線線平行
設直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，則
l∥m??_?_______. 1．在正方體abcd－a1b1c1d1中，p為正方形a1b1c1d1四邊上的動點，o為底面正方形abcd的中心，m，n分別為ab，bc的中點，點q為平面abcd內
??????????
一點，線段d1q與op互相平分，則滿足mq＝λmn的實數λ的值有()
a．0個c．2個
b．1個 d．3個
2、線面平行
設直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則
l∥α??_______?1??
1．已知直線l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為?1，2，2?，且l∥α，
??
則m＝________.
(更多好文章請關注)2．已知線段ab的兩端點的座標為a(9，－3,4)，b(9,2,1)，則與線段ab平行的座標平面是()
a．xoyb．xoz
c．yozd．xoy或yoz
3．如圖所示，在空間圖形p—abcd中，pc⊥平面abcd，pc＝2，在四邊形abcd中，cd∥ab，∠abc＝∠bcd＝90°，ab＝4，cd＝1，點m在pb上，且pb＝4pm，∠pbc＝30°，求證：cm∥平面pad
.
4. 如圖，在底面是菱形的四稜錐p—abcd中，∠abc＝60°，pa⊥平面abcd，pa＝ac＝a，點e在pd上，且pe∶ed＝2∶1.在稜pc上是否存在一點f，使bf∥平面aec？證明你的結論．
5. 如圖, 在直三稜柱abc－a1b1c1中，ac＝3，bc＝4，aa1＝4，點d是ab的中點，（i）求證：ac⊥bc1；（ii）求證：ac 1//平面cdb1；
3、面面平行(3)面面平行 設平面α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?
abc?__?________a＝bc (a2b2c2≠0)_______.
222
1．如圖，在平行六面體abcd—a1b1c1d1中，m、p、q分別為稜ab、cd、bc的中點，若平行六面體的各稜長均相等，則 ①a1m∥d1p； ②a1m∥b1q；
③a1m∥面dcc1d1；
④a1m∥面d1pqb1.
以上結論中正確的是________．(填寫正確的序號
)
2. 如圖所示，在正方體abcd?a1b1c1d1中，m、n分別是c1c、b1c1的中點。
求證：（1）mn//平面a1bd；（2）平面a1bd//平面b1d1c。
第三篇：第二節用空間向量證明線線垂直與線面垂直
第二節用空間向量證明線線垂直與線面垂直
一、空間向量及其數量積
1、 在空間，既有大小又有方向的量稱為空間向量。用ab或a表示，其中向量的大小稱為向量的長度或
或a。正如平面向量可用座標(x,y.)表示，空間向量也可用座標(x,y,z)表示。若已知點a座標為（x1，y1，z1）,點b座標為（x2，y2，z2） 則向量ab=（x2 -x1，y2- y1，z2 -z1）即是終點座標減起點座標。 222在空間，知道向量=（x，y，z
x?y?z ?2、 空間向量數量積
① 已知兩個非零向量a、b，在空間任取一點o，作oa=a，ob=b，則角∠aob叫向量a與b的夾角，記作＜a，b＞規定，若0≤＜a，b＞≤?，若＜a，b＞=
⊥。
② 已知空間兩個向量a、b
cos＜a，b＞叫向量a、b的數量積，記作a?b
cos＜，＞若⊥?a?＝０
③ 若已知空間向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2） 則a?b＝x1x2+y1y2+z1z2 ，
cos＜a，
?，稱a與b垂直，記作a2?
??x1x2?y1y2?z1z2
x1?y1?z1?x2?y2?z2222222
例１ 如圖，已知直三稜柱abc-a1b1c1中，∠bca=900,d1、e1分別為a1b1、a1c1中點，若bc=ca=cc1，求向bd1與ae1所成角的餘弦值。
b
d1 1ｃ
6
練習：已知正方體abcd—a1b1c1d1中，b1e1=d1f1=
f
c1b1
c
db
二 、利用向量證線線垂直與線面垂直
a1b1
，求向量be1與df1所成角的餘弦值。 4
例2 在正方體abcd—a1b1c1d1中，求證a1c⊥平面ab1d1
cc
練習：在正方體abcd—a1b1c1d1中，o為底面abcd的中心，p為dd1的中點， 求證：b1o⊥平面pac。
a
例3 如圖，pa⊥矩形abcd所在平面，m, n分別是ab ,pc中點 （1）求證：mn⊥cd
（2）若∠pda=45，求證：mn⊥平面pcd
6
n m
b
c
練習：正方體abcd—a1b1c1d1中，m是稜d1d中點，n是ad中點， p為稜a1b1上任一點。求證：np⊥am
作業：
a1
c1
m c 1.如圖，正方體abcd—a1b1c1d1中，e是bb1中點，o是底面abcd中心，
求證：oe⊥平面d1ac.
2.如圖，正方體abcd—a1b1c1d1中，o ,m分別是bd1, aa1中點，求證：om是異面直線aa1和bd1的公垂線.
da1
3、如圖，直三稜柱abc-—a1b1c1中，∠acb=90，ac=1，cb=2，側稜aa1=1，，側面aa1b1b的兩
條對角線交點為d，b1c1的中點為m。求證：cd⊥平面bdm
6
a1
1 b b1
4在稜長為a的正方體abcd—a1b1c1d1中，e， f分別為稜ab和bc的中點，m為稜b1b
上任一點，當
b1m
值為多少時能使d1m⊥平面efb1 mb
a
e
5、如圖，?abc為正三角形，ae和cd都垂直於平面abc，且ae=ab=2a， cd=a，f為be中點，求證：af⊥bd
c
a
6、如圖，已知直三稜柱abc-a1b1c1中b1c1=a1c1，a1b⊥ac1。 求證：a1b⊥b1c
6
ａ
ａ111
第四篇：用向量方法證明空間中的平行與垂直
用向量方法證明空間中的平行與垂直
1.已知直線a的方向向量為a，平面α的法向量為n，下列結論成立的是( c )
a．若a∥n，則a∥αb．若a·n＝0，則a⊥α
c．若a∥n，則a⊥αd．若a·n＝0，則a∥α
解析：由方向向量和平面法向量的定義可知應選c.對於選項d，直線a?平面α也滿足a·n＝0.
2.已知α，β是兩個不重合的平面，其法向量分別為n1，n2，給出下列結論：
①若n1∥n2，則α∥β；②若n1∥n2，則α⊥β；
③若n1·n2＝0，則α⊥β；④若n1·n2＝0，則α∥β.
其中正確的是( a )
a．①③b．①④
c．②③d．②④
→平行的一個向量的坐 3.(原創)已知a(3，－2,1)，b(4，－5,3)，則與向量ab
標是( c )
1a．(3，1,1)b． (－1，－3,2)
13c．(－2，2，－1)d．(2，－3，－ 2)
→＝(1，－3,2)＝－2(－131)， 解析：ab22
13→所以與向量ab平行的一個向量的座標是(－2，2，－1)，故選c.
4.設l1的方向向量為a＝(1,2，－2)，l2的方向向量為b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，則m等於 2 .
5.設平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k＝ 4 .
解析：因為α∥β，所以(－2，－4，k)＝λ(1,2，－ 2)，
所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.
→＝(1,5，－2)，bc→＝(3,1，z)．若ab→⊥bc→，bp→＝(x－1，y，－3)， 6.已知ab
4015且bp⊥平面abc，則實數x＝ 7，y＝ －7，z＝ 4 .
?→·→＝x－1＋5y＋6＝0解析：由已知?bpab
→·→＝3?x－1?＋y－3z＝0?bpbc
4015解得x＝7，y＝－7z＝4. →·→＝3＋5－2z＝0abbc ，
7.(原創)若a＝(2,1，－3)，b＝(－1,5，3)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為 58 .
解析：因為a·b＝(2,1，－3)·(－1,5，3)＝0，
所以a⊥b，又|a|＝22，|b|29，
所以以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為
|a|·|b|＝22×29＝258.
8.如圖，平面pac⊥平面abc，△abc是以ac為斜邊的等腰直角三角形，e，f，o分別為pa，pb，ac的中點，ac＝16，pa＝pc＝10.設g是oc的中點，證明：fg∥平面boe
.
證明：如圖，連接op，因為pa＝pc，ab＝bc，所以po⊥ac，bo⊥ac，
又平面pac⊥平面abc，所以可以以點o為座標原點，分別以ob，oc，op所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角座標系o-xyz
.
則o(0,0,0)，a(0，－8,0)，b(8,0,0)，c(0,8,0)，p(0,0,6)，e(0，－4,3)，f(4, 0,3)．由題意，得g(0,4,0)．
→＝(8,0,0)，oe→＝(0，－4,3)， 因為ob
設平面boe的一個法向量為n＝(x，y，z)，
→??n·ob＝0?x＝0則?，即?， →＝0?－4y＋3z＝0?oe?n·
取y＝3，則z＝4，所以n＝(0,3,4)．
→＝(－4,4，－3)，得n·→＝0. 由fgfg
又直線fg不在平面boe內，所以fg∥平面boe
.
9.如圖，四稜錐p-abcd的底面為正方形，側稜pa⊥底面abcd，且pa
＝ad＝2，e，f，h分別是線段pa，pd，ab的中點．
(1)求證：pb∥平面efh；
(2)求證：pd⊥平面ahf
.
證明：建立如圖所示的空間直角座標系a-xyz，
所以a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)，e(0,0,1)，f(0,1,1)，h(1，0,0)．
→＝(2,0，－2)，eh→＝(1,0，－1)， (1)因為pb
→＝2eh→， 所以pb
因為pb?平面efh，且eh?平面efh，
所以pb∥平面efh.
→＝(0,2，－2)，ah→＝(1,0,0)，af→＝(0,1,1)， (2)因為pd
→·→＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0， 所以pdaf
→·→＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0， pdah
所以pd⊥af，pd⊥ah，
又因為af∩ah＝a，所以pd⊥平面ahf.
第五篇：第四節 利用空間向量求二面角及證明面面垂直
第四節 利用空間向量求二面角及證明面面垂直
一、二面角
二面角??l??，若?的一個法向量為m，?的一個法向量為n，則cos?,??，二面角的大小為?m,n?或???m,n?
例1．如圖，正三稜柱abc?a1b1c1中，e為bb1的中點，aa1?a1b1，求平面a1ec與平面a1b1c1所成鋭角的大小。
例2．（05年全國）如圖，在四稜錐v-abcd
vad是正三角形,平面vad⊥底面abcd． （1）證明ab⊥平面vad；
（2）求面vad與面vbd所成的二面角的大小．
練習：如圖，稜長為1的正方體 abcd?a1b1c1d1中，e是cc1的中點，
求二面角b?b
1e?d的餘弦值。
12
二．證面面垂直
若平面?的一個法向量為，平面?的一個法向量為，且?，則???。
例3．在四稜錐p-abcd中，側面pcd是正三角形，且與底面abcd垂直，已知底面是面積為23的菱形，
?adc?600，m是pb的中點。
（1）求證：pa?cd
（2）求二面角p?ab?d的度數； （3）求證：平面pab?平面cdm。
練習：（04年遼寧）已知四稜錐p-abcd中，底面abcd是菱形，?dab?60?,pd?平面abcd，pd=ad，點e為ab的中點，點f為 pd的中點。
（1）證明平面ped⊥平面pab；
（2）求二面角p-ab-f的平面角的餘弦值.
作業：
1．（04年廣東）如圖，在長方體abcd?a1b1c1d1中，
已知ab?4,ad?3,aa1?2,e,f分別是線段ab,bc上的點，且eb?fb?1。 （ⅰ）求二面角c-de-c1的正切值；
（ⅱ）求直線ec1與fd1所成角的餘弦值。
13
2．（05年全國）已知四稜錐p-abcd的底面為直角梯形，ab∥dc，?dab?90?,pa?底面abcd，且pa=ad=dc=
ab=1，m是pb的中點。 2
（1）證明：面pad⊥面pcd； （2）求ac與pb所成的角；
（3）求面amc與面bmc所成二面角的大小。
3．已知四稜錐p-abcd的底面是邊長為2的正方形，側稜pa?底面abcd，pa＝2，m、n分別是ad、bc的中點，mq?pd於q
（1）求證：平面pmn?平面pad；
（2）求pm與平面pcd所成角的正弦值； （3）求二面角p?mn?q的餘弦值。
4．（06年全國）如圖，在直三稜柱abc－a1b1c1中，ab＝bc， d、e分別為bb1、ac1的中點．
（1）證明：ed為異面直線bb1與ac1的公垂線； （2）設aa1＝ac＝2ab，求二面角a1－ad－c1的大小．
14
c
b1 d
e
c
a
b
5． （04年浙江）如圖，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互
相垂直，ab=，af=1，m是線段ef的中點。
（1）求證：am//平面bde； （2）求二面角a?df?b的大小；
（3）試在線段ac上確定一點p，使得pf與bc所成的角是60?。
6．（05年湖南）如圖1，已知abcd是上．下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸oo1折成直二面角，如圖2.
（1）證明：ac⊥bo1；
（2）求二面角o-ac-o1的大小。
7．（06年山東）如圖，已知四稜錐p-abcd的底面abcd為 等腰梯形，ab∥dc,ac⊥bd,ac與bd相交於點o，且頂點 p在底面上的射影恰為點o，又bo=2,po=,pb⊥pd. (1)求異面直線pd與bc所成角的餘弦值； (2)求二面角p-ab-c的大小； (3)設點m在稜pc上，且pc⊥平面bmd.
15
pm
??,問?為何值時， mc