第一篇：费马点
费马点定义费马点定义费马点定义费马点定义 在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点费马点费马点费马点。在平面三角形中: (1).三内角皆小于三内角皆小于三内角皆小于三内角皆小于120°的三角形的三角形的三角形的三角形，，，，分别以分别以分别以分别以 ab,bc,ca，，，，为边为边为边为边，，，，向三角形外侧做正三角形向三角形外侧做正三角形向三角形外侧做正三角形向三角形外侧做正三角形abc1,acb1,bca1,然后连接然后连接然后连接然后连接aa1,bb1,cc1,则三线交于一点则三线交于一点则三线交于一点则三线交于一点p,则点则点则点则点p就是所求的费马点就是所求的费马点就是所求的费马点就是所求的费马点.(2).若三角形有一内角大于或等于若三角形有一内角大于或等于若三角形有一内角大于或等于若三角形有一内角大于或等于120度度度度,则此钝角的顶点就是所求则此钝角的顶点就是所求则此钝角的顶点就是所求则此钝角的顶点就是所求. (3)当当当当△△△△abc为等边三角形时为等边三角形时为等边三角形时为等边三角形时,此时外心与费马点重合此时外心与费马点重合此时外心与费马点重合此时外心与费马点重合 证明证明证明证明(1)费马点对边的张角为120度。 △cc1b和△aa1b中,bc=ba1,ba=bc1,∠cbc1=∠b+60度=∠aba1, △cc1b和△aa1b是全等三角形,得到∠pcb=∠pa1b 同理可得∠cbp=∠ca1p 由∠pa1b+∠ca1p=60度，得∠pcb+∠cbp=60度,所以∠cpb=120度 同理,∠apb=120度，∠apc=120度 (2)pa+pb+pc=aa1 将△bpc以点b为旋转中心旋转60度与△bda1重合，连结pd，则△pdb为等边三角形，所以∠bpd=60度 又∠bpa=120度，因此a、p、d三点在同一直线上， 又∠apc=120度，所以a、p、d、a1四点在同一直线上，故pa+pb+pc=aa1。 (3)pa+pb+pc最短 在△abc内任意取一点m（不与点p重合），连结am、bm、cm，将△bmc以点b为旋转中心旋转60度与△bga1重合，连结am、gm、a1g(同上)，则aa1<a1g+gm+ma=am+bm+cm.所以费马点到三个顶点a、b、c的距离最短。 浅谈三角形的费马点法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．本文试以课本上的习题、例题为素材，根据国中学生的认知水平，针对这个问题拟定一则思维训练材料，引导学生通过自己的思维和学习，初步了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用．1．三角形的费马点费马（pierre de fermat,1601--1665） 法国数学家、物理学家。生于博蒙德罗曼。其父曾任法国图卢兹地方法院的法律顾问。本人身为律师，曾任图卢兹议会的顾问30多年。他的一系列重要科学研究成果，都是利用业余时间完成的。费马在数学方面作出了卓越的贡献，早年主要研究概率论，对于数论和解析几何都有深入研究。他对微分思想的运用比牛顿和莱布尼兹还要早，在他所著《求最大值和最小值的方法》一书中，已对微分理论进行了比较系统的探讨。他把直线平面坐标应用于几何学也早于笛卡儿，在其所著〈平面及空间位置理论的导言〉中，最早提出了一次方程代表直线，二次方程代表截线，对一次与二次方程的一般形式，也进行了研究。费马还研究了对方程ax2+1=y2整数解的问题。得出了求导数所有约数的系统方法。著名的费马大定理是费马提出的至今尚未解决的问题。1637年费马提出：“不可能把一个整数的立方表示成两个立方的和，把一个四次方幂表示成两个四次方幂的和，一般地，不可能把任一个次数大于2的方幂表示成两个同方幂的和。”1665年这一定理提出后，引起了许多著名数学家的关注，至今尚在研究如何证明它的成立，但始终毫无结果。
费马在光学方面，确立了几何光学的重要原理，命名为费马原理。这一原理是几何光学的最重要基本理论之一，对于笛卡儿的“光在密媒质中比在疏媒质中传播要快”的观点给予了有力的反驳，把几何光学的发展推向了新的阶段。
几何光学已有悠久的发展历史。公元前400年，我国《墨经》中便有光的直线传播和各种面镜对光的反射的记载。公元100年亚历山大里亚的希罗（hero）曾提出过光在两点之间走最短路程的看法。托勒密在公元130年对光的折射进行过研究。公元1611年开普勒对光学的研究达到了较高的定量程度。最后，1621年斯涅尔总结出了光的折射定律。费马则是用数学方法证明了折射定律的主要学者之一。费马原理是根据经济原则提出的，它指出：光沿着所需时间为极值的路径传播。可以理解为，光在空间沿着光程为极值的路传播，即沿光程为最小、最大或常量路径传播。费马定理不但是正确的，同时它与光的反射定律和折射定律具有同等的意义。由于费马原理的确立，几何光学发展到了费马（pierre de fermat )是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”.引例：有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小？将此问题用数学模型抽象出来即为：在△ abc中确定一点p，使p到三顶点的距离之和pa+pb+pc最小。解法如下：分别以ab ac为边向外侧作正三角形abd ace 连结cd be交于一点，则该点 即为所求p点。证明：如下图所示。连结pa、pb、pc,在△abe和△acd中，ab=ad ae=ac ∠bae=∠bac+60° ∠dac=∠bac+60°=∠bae ∴△abe全等△acd。∴ ∠abe=∠adc 从而a、d、b、p四点共圆∴∠apb=120° ， ∠apd=∠abd=60°同理：∠apc=∠bpc=120°以p为圆心，pa为半径作圆交pd于f点，连结af，以a为轴心将△abp顺时针旋转60°，已证∠apd=60°∴△apf为正三角形。∴不难发现△abp与△adf重合。∴bp=df pa+pb+pc=pf+df+pc=cd另在△abc中任取一异于p的点g ，同样连结ga、gb、gc、gd，以b为轴心将△abg逆时针旋转60°，记g点旋转到m点.。则△abg与△bdm重合，且m或 在 线 段dg上 或 在dg外。gb+ga=gm+md≥gdga+gb+gc≥gd+gc>dc。从而cd为最短的线段。以上是简单的费马点问题，将此问题外推到四点，可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点。较为完善的程度。
第二篇：费马点简洁证明
費馬點(fermat point)
一、前言
費馬(pierre de fermat,1601-1665)是一位律師和法國政府的公務員，他利用閒暇的時間研究數學，他從未發表他的研究發現，但是他幾乎與同時代的所有歐洲的大數學家保持通信。曾經，費馬是歐洲所有數學研究進展之交換中心。有一天，他要回答一個收到的問題，‘要找出三角形裡最小點的位置，這個最小點是指這點到三個頂點的距離總和為最短’。
“在平面上找一個點，使此點到已知三角形三個頂點的距離和為最小”，這個點就是所謂的費馬點(fermat point)，這個問題可以應用在，例如有三個城市，然後要蓋一個交通中心到這三個城市的距離最短這一類的問題。
二、找費馬點
在平面上一三角形abc，試找出內部一點p，使得pa?pb?pc為最小。首先，讓我們先找到p點的性質，再來研究怎麼做出p點。
p點有什麼性質呢？它的位置是否有什麼特殊意義呢？在中學裡，我們學過三角形的內心、外心、重心以及垂心，p點和這些心之間有關聯嗎？還是和有些線段長、角度大小有關係呢？
?apb、?bpc和?cpa很接近，這三個角度有何關聯？
【解法1】
1如右圖，以b點為中心，將?apb旋轉60?到?c'bp' ○
因為旋轉60?，且pb?p'b，所以?p'pb為一個正三角形?pb?p'p
因此，pa?pb?pc?p'c'?p'p?pc
由此可知當c'、p'、p、c四點共線時，pa?pb?pc?p'c'?p'p?pc為最小
2若c'?p'?p共線時，則 ○
???bp'p?60???c'p'b??apb?120
同理，若p'?p?c共線時，則??bpp'?60???bpc?120?
所以p點為滿足?apb??bpc??cpa?120?的點
。
但是，該用什麼方法找出p點呢？
a'
以?abc三邊為邊，分別向外作正三角形abc'、a'bc、ab'c
連接aa'、bb'、cc'
aa'、bb'、cc'三線共點，設交點為p，即為所求
【證明1】
(在解法1曾提到若pa?pb?pc?p'c'?p'p?pc，即c'p'pc四點共線時，小值，所以p要在cc'上。)
a'
??abb'??ac'c??1??2
則?dpb~?dac'，得?3??4?60? 在pc'上取點p'，使得bp?bp'??bpp'為正三角形
則?abp??c'bp'，得ap?c'p'
所以pa?pb?pc?p'c'?p'p?pc?c'c
【證明2】 pa?pb?pc?c'c有最
所以?cpa'?60? a' ?apb??bpc??cpa?120?，又a'bpc四點共圓(??bpc??ba'c?180?)
故?apc??cpa'?180?，因此p在aa'上 同理可證p在bb'、cc'上，
故p為aa'、bb'、cc'三線交點
三、畫出費馬點
經過上面的討論，可以知道，在平面上?abc，想找出一點p，使pa?pb?pc為最小，方法為：分別以ab、bc為邊長做出正三角形?abc'及?a'bc，連接aa'、cc'，兩線交於一點p，p點即為費馬點。
使用上述方法需要注意到一點，?abc的每一個內角均小於120?，如果其中有一內角大於120?，那麼p點就是?abc最大內角的頂點。
第三篇：费马最后定理的历史过程
数学与统计学院1007班廖亚平
被公认执世界报纸牛耳地位地位的纽约时报於1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有关数学难题得以解决的消息，那则消息的标题是“在陈年数学困局中，终於有人呼叫?我找到了?”。时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的男人照片。这个古意盎然的男人，就是法国的数学家费马（pierre de fermat）（费马小传请参考附录）。费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以“业余王子”之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式 xn + yn =zn的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此处z表一直角形之斜边而x、y为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这个方程式当然有整数解（其实有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13...等等。
费马声称当n>2时，就找不到满足xn +yn = zn的整数解，例如：方程式x3 +y3=z3就无法找到整数解。
当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最後定理也就成了数
学界的心头大患，极欲解之而後快。
十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六０年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫斯克尔（p. wolfskehl）在1908年提供十万马克，给能够证明费马最後定理是正确的人，有效期间为100年。其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然如此仍然吸引不少的“数学痴”。
二十世纪电脑发展以後，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费马定理是正确的（注286243-1为一天文数字，大约为25960位数）。
虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终於解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（andrew wiles）所解决。其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。
五○年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想，後来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八○年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最後定理也是正确的。这个结论由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众
也寄以无限的关注。不过威利斯的证明马上被检验出有少许(请关注：)的瑕疵，於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6月，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金，不过威利斯领到时，只值五万美金左右，但威利斯已经名列青史，永垂不朽了。
要证明费马最後定理是正确的
（即xn + yn = zn 对n≥3 均无正整数解）
只需证 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp（p为奇质数），都没有整数解。附录：费马小传
费马（pierre de fermat）是十七世纪最伟大的数学家之一，1601年8月20日生於法国南部土鲁士（toulous）附近的一个小镇，父亲是一个皮革商，1665年1月12日逝世。
费马在大学时专攻法律，学成後成为专业的律师，也曾经当过土鲁士议会议员。
费马是一位博览群书见广多闻的谆谆学者，精通数国语言，对於数学及物理也有浓厚的兴趣，是一位多采多艺的人。虽然他在近三十岁才开始认真专研数学，但是他对数学的贡献使他赢得业余王子（the prince of amateurs）之美称。这个头衔正足以表彰他在数学领域的一级成就，他在笛卡儿（descartes）之前引进解析几何，而且在微积分的发展上有重大的贡献，尤其为人称道的是费马和巴斯卡(pascal)被公认是机率论的先驱。然而人们所津津乐道的则是他在数论上的一些杰作，例如费马定
理（又称费马小定理，以别於费马最後定理）：apº a(modp)，对任意整数a及质数p均成立。这个定理第一次出现於1640年的一封信中，此定理的证明後来由欧拉（euler）发表。费马为人非常谦虚、不尚名利，生前很少发表论文，他大部分的作品都见诸於与友人之间的信件和私人的札记，但通常都未附证明。最有名的就是俗称的费马最后定理，费马天生的直觉实在是异常敏锐，他所断言的其他定理，後来都陆续被人证出来。有先见之明的费马实在是数学史上的一大奇葩
第四篇：心灵的房间
心灵的房间
心灵的房间，不打扫就会落满灰尘。蒙尘的心，会变得灰色和迷茫。我们每天都要经历很多事情，开心的，不开心的，都在心里安家落户。心里的事情一多，就会变得杂乱无序，然后心也跟着乱起来。有些痛苦的情绪和不愉快的记忆，如果充斥在心里，就会使人委靡不振。所以，扫地除尘，能够使黯然的心变得亮堂；把事情理清楚，才能告别烦乱；把一些无谓的痛苦扔掉，快乐就有了更多更大的空间。
浙江金华白龙桥实验国小三年级:郑志豪80
第五篇：我的房间
我的房间
我们每个人都有自己的一个小房间，我也是，我把它称为是我的小天地，我非常喜欢它，它给我带来了无限的快乐，接下来，我便大家介绍一下吧！打开门，走进我的房间，首先映入眼帘的是我那张暖和又舒适的床，花儿有绿的、红的、黄的、还有草地的青翠，这便是床单和被子的颜色，活泼动感的色彩搭配，绝对是家中一道亮丽的风景。床的左边是一个大衣柜，里面的衣服静静地挂着，也没什么新鲜的。床的右边是一张象牙白的写字台；上面放着一个银灰色的小台灯，我在晚上用它来照明、看书、写作业；在它的旁边还放着一个很漂亮的功夫熊猫玩具和一个红色的闹钟，它每天早上都会准时的叫我起床，使我不得不从美梦中醒来，再往它的旁边看，你就会发现一个相当可爱的笔筒，它是米奇的形状，笔筒放了一袋圆珠笔管、两个中性笔壳、一只可擦水笔，一只2b铅笔。还有削笔器、计算器等等。有桌子当然也有椅子，那是一把粉红色的椅子，写字台的右边是一整面四扇明亮的落地窗，它被一个落地窗帘罩住了，窗帘上有一片片五颜六色的叶子，在炎热的夏天，我看着窗帘就会想到秋天，那一片片的叶子，似乎让我感觉到一阵阵秋风的凉意，心情便不再浮躁，而是变得十分宁静的。特别是冬天，每当清晨太阳就会透过落地窗照射进房间里，使我觉得暖洋洋的。床的正对面是一张长方形的原木电视矮柜，上面摆放着一台48英寸等离子高清电视，每到周末，它便是我的“忠实好友”，它能带领我进入更精彩的世界，纵观世间趣闻。左边是一个胡桃木五层的书柜。上面是妈妈的书，大部份是一些养生，医学，保健的书，而下面则是我的“私人财产”书柜里装着欢我平时最喜看的书。什么课外阅读、订阅的书刊，窗边的小豆豆，查理与大玻璃升降机、十万个为什么??真是琳琅满目，令人眼花缭乱。尽管数量很多，他们还是按高矮个摆放得很整齐。它用其独特的魅力，把我引入知识的海洋。书柜的正上方是一台美的空调，在炎热的夏天，开启空调，会感到很凉爽；在寒冷的冬天，开启空调，会感到好温暖。好舒服。空调的功能真不错！我房间的白墙上有我小时侯的涂鸦作品。嘻嘻~在我房间的顶上有一盏太阳图案的大吊灯，它总能让我进入甜甜的梦乡。
这就是我的房间，可爱、漂亮、我爱我的房间！更爱我的爸爸妈妈，是他们给予我这珍贵的、温馨的房间。
福建福州鼓楼区井大国小四年级:梦想天空