角的平分线的性质教案 篇一
一、教学目标
【知识与技能】
进一步了解角平分线的性质和判定，能够证明角平分线的性质和判定定理并且会运用角平分线性质去解决问题。
【过程与方法】
通过对“角平分线性质”的探究，提高分析问题、解决问题的能力。
【情感态度与价值观】
通过一系列的证明过程，体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习数学的兴趣和勇于创新的精神。
二、教学重难点
【重点】
证明角平分线的性质和判定。
【难点】
灵活运用角平分线性质解决问题。
三、教学过程
(一)设置情境问题，搭建探究平台
问题l:习题1.8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？能证明自己发现的结论一定正确吗？
于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” .
当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。
(二)展示思维过程，构建探究平台
已知：如图，设△ABC的角平分线。BM、CN相交于点P，
证明：P点在∠BAC的角平分线上。
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足。
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
同理：PE=PF.
∴PD=PF.
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上).
∴△ABC的三条角平分线相交于点P.
在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢？
(PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等。)
于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
问题2
分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题。第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长。第(2)问中，求证AB=AC+CD.这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE.
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，
∠C=90°，DE⊥AB.
∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等).
∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角).
∵∠C=90°，
∴∠B=1/2×90°=45°.
∴∠BDE=90°—45°=45°.
∴BE=DE(等角对等边).
在等腰直角三角形BDE中
BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)，
∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm.
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)
∴AC=AE.
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD.
[例2]已知：如图，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D.
求证：(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线。
证明：(1)P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等).
在Rt△OPC和Rt△OPD中，
OP=OP，PC=PD，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理).
∴OC=OD(全等三角形对应边相等).
(2)又OP是∠AOB的角平分线，
∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理).
思考：图中还有哪些相等的线段和角呢？
(四)课时小结
本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等。并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题。
(五)课后作业
习题1.9第1、2题
四、板书设计
角平分线性质
定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
五、教学反思
证明角平分线的性质教案 篇二
一、教学目标：
(一)掌握的知识与技能：
1、经历折纸、画图等操作过程认识三角形的高、中线、角平分线，结合图形，会用几何语言表述。
2、会用工具准确地画出三角形的高、中线与角平分线。
(二)经历的教学思考：
经历折纸、画图、观察、思考、交流等活动，发展空间观念和表达能力
(三)培养的情感态度和价值观：
通过数学活动，让学生体验和理解三角形中的特殊线段，结合图形认识三角形的高、中线、角平分线所揭示的数量关系，学会发现问题，解决问题。
二、教学重难点：
1、重点：(1)了解三角形的高、中线、角平分线的概念，会用工具准确画出三角形高、中线、角平分线。
(2)了解三角形的三条高，三条中线与三条角平分线分别交于一点。
2、难点：(1)三角形平分线与角平分线的区别，三角形的高与垂线的区别。
(2)钝角三角形高的画法。
(3)不同的三角形三条高的位置关系。
三、教学方法：自主探究，合作交流
四、教学工具：三角形纸片，三角板，直尺
五、教学过程：
1、各组组长检查预习作业完成情况。
2、师生问好。
3、情境导入：【大屏幕显示】白雪公主有一块三角形的煎饼，她打算把煎饼分成面积相等的七块给小矮人，想了很久也不知道怎么分，你能帮助她吗？
4、展示本课学习目标【大屏幕显示】
5、学生自学课本p65-66内容后，完成导学案。(小组共同完成，组长组织)教师巡视全班。(导学案附后)
6、通过题目检查学生自学情况。【大屏幕显示】(学生抢答)
7、将学生在自学过程中的疑难问题适当加以点拨。
8、学生完成课堂练习，完成后交给组长评分。(课堂练习附后)
9、共同完成拓展练习。
10、共同完成课前设疑的问题。现在你能帮助白雪公主了吗？
11、课堂小结：由学生总结，互相补充。
12、布置课下作业。
【导学案和课堂练习题附后】
三角形的高、中线和角平分线导学案
课前准备：请你完成下列作图：
1、经过点a画直线l的垂线
2、画∠aob的角平分线
3、作出线段ab的中点o
动手实践，探究新知：
(一)三角形的高线
1、三角形高线定义：
2、请你画出下面三角形的高
思考：(1)三角形的高线有 条；
(2)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部？ ;
(3)直角三角形的三条高线相交 ;
(4)钝角三角形的三条高线也相交于一点吗？
请你拿出课前准备好的三角形，通过自己折纸画出三角形的角平分线和中线，回答下面问题
1、三角形角平分线定义：
2、三角形有几条角平分线？
3、你发现三角形的三条角平分线是否交于一点？
(三)三角形的中线
1、三角形的中线定义：
2、三角形有几条中线？
3、你发现三角形的三条中线是否交于一点？
三角形高、中线、角平分线课堂练习
应用新知，体验成功
1、填空：∵ad是△abc的高
∴ = = °
2、《三角形的高、中线与角平分线》教学设计填空：∵cf是△abc的中线
∴ = =
3、《三角形的高、中线与角平分线》教学设计填空：∵ae是△abc的角平分线
∴ = =
4、如图：cd，be是∆abc的角平分线，它们相交于点i，则
①∠acd=∠ = ∠acb， ∠abc= ∠abe
②bi是∆ 的角平分线，ci是∆ 的角平分线。
③你能画出∆abc的第三条角平分线吗？
5、如图，在∆abc中，∠bac是钝角，请在∆abc中分别画出：
(1) ∠bac的平分线；
(2)ac边上的中线；
(3)ac边上的高；
(4)ab边上的高。
6、已知：如图， 在△abc中， ∠acb=90°，cd是高，
则图中互补的角有 对，分别为
7、请你找出图中以ad为高的三角形
它们分别是
8、三角形某条边上的高( )
a在三角形的内部 b在三角形的外部 c在三角形的一边上 d以上三种情况都有可能
9、如图，如果d是bc的中点，bc=6,ae⊥bc于e,ae=4
则bd=dc= ，s△abd= ，
s△acd= , s△abd s△acd.
10、三角形的一条( )，能把三角形分成两个面积相等的三角形。
a.角平分线 b.中线 c.高 d.以上都不对
证明角平分线的性质教案定义 篇三
一、教学分析
1.教学内容分析
本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第11.3节第一课时内容，是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的。内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。
2.教学对象分析
刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础。
二、教学目标
1、知识与技能：
(1)、掌握用尺规作已知角的平分线的方法。
(2)、理解角的平分线的性质并能初步运用。
2、数学思考：通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。
3、解决问题：
(1)、初步了解角的平分线的性质在生产、生活中的应用。
(2)、培养学生的数学建模能力。
4、情感与态度：充分利用多媒体教学优势，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。
三、教学重点、难点
重点：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。
难点：(1)对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；
(2)对于性质定理的运用(学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明)
四、教学过程
教学环节设计
1.提出问题、思考探究
问题1：
生活中有很多数学问题：
小明家居住在某小区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连。
(1)、怎样修建管道最短？
(2)、新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。
[设计意图]
依据新课程理念，教师要创造性地使用教材，作为本课的第一个引例，从学生的生活出发，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识，解决实际问题的意识，复习了点到直线的距离这一概念，为后续的学习作好知识上的储备。
问题2：
要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用简易平分角的仪器来画角的平分线。出示仪器模型，介绍仪器特点(有两对边相等)，将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线。为什么？
[设计意图]
体验从生产生活中分离，抽象出数学模型，并主动运用所学知识来解决问题。从上面的探究中可以得到作已知角的平分线的方法。
问题3：
把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，从几何作图角度怎么画？BC=DC，从几何作图角度怎么画？
[设计意图]
从实验操作中获得启示，明确几何作图的基本思路和方法。
问题4：
作一个平角∠AOB的平分线OC，反向延长OC得到直线CD，请学生说出直线CD与AB的位置关系。并在此基础上再作出一个45度的角。
[设计意图]
通过作特殊角的平分线，让学生掌握过直线上一点作已知直线的垂线及特殊角的方法，达到培养学生的发散思维的目的。
问题5：
让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形(使第一次的折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕。
(1)、第一次的折痕和角有什么关系？为什么？
(2)、第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？
[设计意图]
培养学生的动手操作能力和观察能力，为下面进一步揭示角平分线的性质作好铺垫。
2、教师点拨、归纳概括
按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕。让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质。(角的平分线上的点到角两边的距离相等)结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程。教师归纳，强调定理的条件和作用。
教师用文字语言叙述得到的结论。引导学生结合图形写出已知、求证，分析后写出证明过程，并利用实物投影展示。证明后，教师强调经过证明正确的命题可作为定理。同时强调文字命题的证明步骤。
[设计意图]
经历实践→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而把学生的直观体验上升到理性思维。
3、例题解析、应用新知
例1在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E，F.
求证：EB=FC.
[设计意图]
为突出本节课重点、突破难点而设计的一项活动。让学生运用性质解决数学问题，通过利用多媒体对一些边进行变色，提醒学生直接运用定理，不要仍旧去找全等三角形。同时通过信息技术方便进行一题多解及一题多变研究，更好的拓展学生解题思路及形成知识运用能力。两道变题同时展示，符合高效课堂要求。通过学生观察识图、独立思考、小组讨论，培养学生合作交流的意识。
例2已知：△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
[教学方法手段]
限时让学生独立思考分析，然后交流证题思路，再通过多媒体展示一般证明过程。
[设计意图]
通过问题的解决，帮助学生更好的理解角平分线的性质，并达到能熟练运用的程度。
4、课堂练习、巩固提高
课后练习1、2题。
[设计意图]
通过练习，巩固角平分线的性质。
5、课堂小结、回顾反思
(1)、这节课你有哪些收获，还有什么困惑？
(2)、通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？
[设计意图]
通过引导学生自主归纳，调动学生的主动参与意识，锻炼学生归纳概括与表达能力。
6、布置作业、信息反馈
[设计意图]
通过课后动手练习作业，教师批改作业，检查学生本节课的学习效果，从中发现问题，及时调整教学策略。
必做题：教材第22页第1、2、3题
选做题：教材第23页第6题
五、板书设计：(略)
证明角平分线判定方法 篇四
在三角形中的性质。
1.三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等。这个点称为内心 (即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆)。
2.三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
若AD是△ABC的角平分线，则 BD/DC=AB/AC 。
证明：作CE∥AD交BA延长线于E。
∵CE∥AD
∴△BDA∽△BCE
∴BA/BE=BD/BC
∴ BA/AE=BD/DC
∵CE∥AD
∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∴ ∠BAD=∠CAD=∠ACE=∠E
即∠ACE=∠E
∴ AE=AC
又∵BA/AE=BD/DC
∴BA/AC=BD/DC